Desafios: 3º A, B, C e D - EJORB 2015 - As Relações Métricas no Triângulo Retângulo - seno, cosseno e tangente

Obs: Os desafios estão logo abaixo das questões do enem.

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010

1 - Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km.
b) 1,9 km.
c) 3,1 km.
d) 3,7 km.
e) 5,5 km.

Para resolver essa questão, basta calcular a tangente do ângulo de 60°. Lembrando que a tangente é o quociente do lado oposto pelo lado adjacente ao ângulo. O valor da medida do lado adjacente está na figura da questão, 1,8 km. A medida do lado oposto ao ângulo de 60° é o valor que estamos procurando e pode ser chamada de x. Na tabela trigonométrica, podemos ver que a tangente de 60° vale √3. Façamos então:

tan 60° =   cateto oposto a 60°  
                                  cateto adjacente a 60°                  
√3 =  x
                                  1,8                      
x = 1,8.√3
x = 1,8.1,73
x = 3,114 km

A alternativa correta é aquela que mais se aproxima do resultado encontrado, portanto, a letra c.

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011

2 - Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2012

3 -Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:

a) 1000 m.
b) 1000√3 m.
c) 2000 √3/3 .
d) 2000 m.
e) 2000√3 m.

A menor distância entre o ponto P e a trajetória do barco é uma reta perpendicular. Traçando essa nova reta, é possível visualizar dois triângulos. Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale sempre 180°, podemos identificar os demais ângulos do problema:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, podemos encontrar os valores dos ângulos que faltam.

Observe que o triângulo ABP possui dois ângulos internos iguais, portanto, ele é isósceles. Sendo assim, podemos afirmar que os lados AB e BP  possuem a mesma medida, ambos valem 2000 m.
Seja x o comprimento do lado CP, podemos utilizar o cálculo do seno de 60° ou do cosseno de 30° para descobrir o valor de x. Calculando o cosseno de 30°, temos: 

 cos 30°  = cateto adjacente a 30°
                                hipotenusa            
 √3  =    x
    2      2000
2x = 2000√3
x = 2000√3
     2
x = 1000√3 m

A alternativa correta é a letra b. 

Fonte : http://vestibular.brasilescola.com

Desafios

Questão 1

A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

a) 12

b) 30

c) 15

d) 17

e) 20

Questão 2

Um ciclista, partindo de um ponto A, percorre 15 km para o norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90º, percorre 20 km para o leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A?

a) 21 km

b) 22 km

c) 23 km

d) 24 km

e) 25 km

Questão 3

Na figura tem-se que AB = BC e F é ponto médio do lado BE  do retângulo BCDE.

Determine a área do retângulo BCDE. ( lembre-se que Área retângulo = base x altura ).

a)60

b) 72

c) 75

d) 80

e) 100

Questão 4

A prefeitura de uma cidade deseja construir um Posto de Saúde e uma Escola em um terreno retangular de lados AB = 150 m e BC = 80 m, conforme a figura abaixo:

O Posto de Saúde deve ficar sobre o lado AB à uma distância de 120m do vértice B e a Escola sobre o lado CD à uma distância de 70 m do vértice D. A prefeitura planeja a construção de um acesso passando por dentro desse terreno no sentido de diminuir a distância entre a Escola e o Posto de Saúde. Determine,entre as alternativas abaixo, aquela que representa o valor mais próximo da extensão desse acesso.

a) 100 m

b) 90 m

c) 70 m

d) 60 m

e) 110 m

Questão 5

As raízes da equação x² – 14x + 48 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo.

a) 5,5

b) 6

c) 7

d) 4,8

e) 6,4

Fonte: http://blogdoenem.com.br