3º A, B, C e D - Ejorb-2015 - Resumo da aula: Distância entre dois pontos/ Exercícios básicos.

Distância entre dois pontos

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.

Distancia entre pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.
Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.
Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.
Dois pontos no plano cartesiano

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.
Representação dos pontos e da distância
Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.Triângulo retângulo AOB
Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:
Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.
Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.
Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:
Representação geométrica do exemplo dado
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO


1) Calcule a distância entre os pontos dados:

a) A(3,7) e B(1,4)                b) E(3,1)  e F(3,5)                c) H(-2,-5) e O(0,0)               

2) Demonstre que o triângulo com os vértices   A(0,5),  B(3,-2)  e  C(-3,-2)  é isósceles  e calcule seu perímetro.

 3) Determine a distância entre os pontos P = (1,8) e        Q = (-3, 5)

4) Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. O comprimento da mediana AM vale:
a) 3                       
b) 4                                 
c) 5                                   
d) 6                                
e) 7

5) (FGV) No plano cartesiano, o triângulo de vértices    A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:
a) 47
b) 48
c) 49
d) 50
e) 51

6) (Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.

7) UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.

8) Um terreno triangular tem vértices nos pontos A(1,2), B(15,7) e C(11,28). A unidade de medida é o metro. Devemos cercar esse terreno com arame farpado, sendo que cada metro de arame custa R$ 22,00. Quanto custará o arame necessário para cercar o terreno? 

   

CAIU NO ENEM 2011

Resolução


  •  Apenas (-3 , 1), (0,4), e (2 , 6) são pontos da equação y = x + 4.

  • O ponto (-3 , 1) está no 2° quadrante.


Ou

P = (-5, 5)
d² = (x - x')² + (y - y')²
d² = (x - (-5))² + (y - 5)²

Para (-3 , 1)
d² = (-3 - (-5))² + (1 - 5)² = 2² + (-4)² = 4 + 16 = 20
d < 5

Para (0, 4)
d² = (0 - (-5))² + (4 - 5)² = 5² + (-1)² = 25 + 1 = 26
d > 5

Para (2, 6)
d² = (2 - (-5))² + (6 - 5)² = 7² + 1² =  49 + 1 = 50
d > 5






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