Princípio Fundamental da Contagem - Análise Combinatória

2ª Séries

lista de exercícios

Análise Combinatória

1.       Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).

2.       Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de cada cor.

3.       Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?

4.        Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras distintas podem fazer isto?

5.       Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?

6.       Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?

7.       Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos  seus algarismos será um número divisível por 3).

8.       Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.

9.       Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.

10.   Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?

11.   Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?

12.   Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas maneiras podem posicionar-se para tirar a foto?

13.   Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa O⁺(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.

14.   Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos.

15.   Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar?

16.   Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?

17.   Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e  Ana Paula resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?

18.    No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall?

19.   Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros.

20.   Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado, todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.

21.   Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.

22.   Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?

23.   Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:

·     Rômulo e Cotinho não entram juntos

·     Mac Fly e Erika só entram juntos

Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36?

24.   Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas maneiras seria possível compor a mesa.

25.   De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta ordem?

26.   Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.

Resposta:
1. 72 2. 9 3. 504

4. 100 5. C29,6.PC6 + C29,2 (PC5.2 – PC4.4) 6. 30

7. 48 8. 505 9. 144

10. 6840 11. å C6,i , i = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 12. A31,4 + A32,1.4

13. 30.7! 14. 252 15. C33,6 + C33,4

16. 3.26 17. 36 18. C4,3.C3,0 + C4,1.C3,1

19. 90 20. 2580480 21. 63

22. C12,6.PC6 23. 840.20! 24. C21,6.PC6 + C2,14 (PC6 – PC5.2)

25. a) [20! /(10!10!)].4 b) [20! /(10!10!)].2 26. 14